1822年
1820年代は、非圧縮粘性流体の運動を記述する偏微分方程式が初めて文献に現れた年代
とのことである。
岡本久著「ナヴィエ-ストークス方程式の数理」東京大学出版会（2012)の
「はじめに」のところにそのような記述がある。
ナヴィエ-ストークス方程式とはNavier-Stokes 方程式のことであり、カタカナ書きをするとき、「V」の個所が「ヴ」となる。ナビエ-ストークス方程式と書く人も多い。
ちなみに、外来語のVをヴと書くことは幕末の教育家福澤諭吉先生が考案したものである。
少し調べてみると、
「200 Years of the Navier-Stokes Equation」というタイトルで、
Sylvio R. Bistafa さん（Retired, Polytechnic School, University of São Paulo São Paulo, SP, Brazil）が書いた論文
がGoogleで見つかった。
そのabstractには下記のことが書いてある。従って、Navier-Stokes方程式が最初に出たのは1822年（論文の印刷年）ということになる。
「The year 2022 marked the 200th anniversary of the first appearance of the Navier-Stokes equation, a landmark in Fluid Dynamics introduced by Claude-Louis Navier in 1822. This equation revolutionized the understanding of fluid motion by incorporating viscosity and friction into the equations, expanding their applicability beyond idealized fluids. In this manuscript, we explore the historical development of the Navier-Stokes equation and its profound impact on Fluid Dynamics over the past two centuries. From Navier’s initial insights to George Stokes’ experimental validations and subsequent contributions by other scientists, we trace the evolution of this equation. We also delve into its practical applications, including its role in the development of Computational Fluid Dynamics. The Navier-Stokes equation has played a pivotal role in advancing our understanding of fluid behavior, making it a cornerstone of modern science and engineering.」（上記論文のabstractから)
訳してみると次のようなことが書かれている。
2022年は、1822年にクロード・ルイ・ナヴィエによって流体力学の画期的な成果として発表されたナヴィエ-ストークス方程式の初登場から200周年にあたる年です。この方程式は、粘性と摩擦を方程式に取り入れ、完全流体（粘性なし）の仮定を超えて適用範囲を広げることで、流体運動の理解に革命をもたらしました。本稿では、ナヴィエ-ストークス方程式の歴史的発展と、過去2世紀にわたる流体力学へのその多大な影響について探ります。ナヴィエの初期の洞察からジョージ・ガブリエル・ストークスの実験的検証、その後の他の科学者による貢献まで、この方程式の進化をたどります。また、計算流体力学の発展における役割など、その実際的な応用についても掘り下げます。ナヴィエ-ストークス方程式は、流体の挙動に関する理解を深める上で極めて重要な役割を果たしており、現代の科学と工学の基礎となっています。
ここで完全流体（Perfect fluids, idealized fluids)の話が出てくる。
この論文の本文にある「the equations of motion had been limited to perfect fluids, following the publication of the well-known Euler’s equations for non-viscous fluids in 1755.」から、完全流体とは1755年にレオンハルト・オイラーによって定式化された非粘性流体のオイラー方程式によって記述される流体ということになる。
Euler’s equationsになくて、Navier-Stokes equationsにあるものは、粘性（viscosity ）の項である。
粘性とは、力を受けたときに流体の変形をさまたげる性質である。従って、粘性がないEuler’s equationsでは慣性力と圧力勾配がバランスした状態で流体は自由に流れるという解が得られる。一方、Navier-Stokes equationsでは変形の速さに応じた抵抗力（粘性力）の影響を考慮することができ、慣性力と圧力勾配と粘性力のバランスした状態での流体運動の解が得られる。粘性を考慮しないと壁面での滑りなし条件（流速が０となる条件）を記述できない。
さて、この粘性の影響を1842年から1850年にかけて検討した人がStokesである。
他の研究者もそういった検討を行ったのであるから何故、Stokesの名前が、
Navier-Stokes方程式という形で方程式の名前についているのか。
再度、Bistafaさんの論文を見ると、下記のような推測がなされている。
「Since many investigators had corroborated the equation of motion for viscous flows as developed by Navier, one may wonder why Stokes became also associated with this equation. The answer might be that he made extensive comparisons of theory and experiments of different researchers with cylindrical rods, spheres, spheres at the end of long and short rods, oscillating disks, long and short pendula oscillating in air and water, etc. Therefore, differently from the other authors of the Navier-Stokes equation, and similarly to Navier, Stokes had a very clear intention on the practicality of his efforts by confronting theory with experiments, and this might be a reason why he and Navier became associated with the equation of motion for viscous flows.」（上記論文のabstractから引用）
訳してみると次のようなことが書かれている。
ナヴィエが開発した粘性流の運動方程式は多くの研究者によって裏付けられていたため、なぜストークスもこの方程式と結び付けられたのか疑問に思う人もいるかもしれません。その答えは、ストークスが円筒形の棒、球、長い棒と短い棒の先端に球が付いたもの、振動する円盤、空気中と水中で振動する長い振り子と短い振り子などを用いて、さまざまな研究者の理論と実験を広範囲に比較したためかもしれません。したがって、ナヴィエ-ストークス方程式の他の著者とは異なり、ナヴィエと同様に、ストークスは理論と実験を対比させることによって自分の努力の実用性について非常に明確な意図を持っており、これが彼とナヴィエの名前が粘性流の運動方程式と結び付けられた理由かもしれません。
ナヴィエの粘性流体の方程式は印刷年でみると1822年と1827年のものの２つがあるようである。
Bistafaさんの論文から引用する。
「The first derivations of the Navier–Stokes equation appeared in two memoirs by Claude-Louis Navier: Sur les lois des mouvements des fluides, en ayant égard à l’adhésion des molecules [1], published in the Annales de Chimie et de Physique for the year of 1821 (the printed version actually appeared in 1822), here referred to as the 1st memoir; and Sur Les Lois du Mouvement des Fluides [2], which appeared in the Mémoires de L’Académie Royale des Sciences de L’Institut de France for the year of 1823 (actually appeared in printing in 1827), here referred to as the 2nd memoir. Nonetheless, according to the records, both were read at L’Académie on March 18th, 1822, and this was considered the year that marks the appearance of the equation, when it was first publicly announced.」（上記論文のabstractから引用）
岡本先生の本に戻る。
この本のp.4の図12にオイラーが書いたオイラー方程式が掲載されている。p.5の図1.3にはナヴィエの書いた方程式で1827年のものが掲載されている。
どのような記法で書いていたかがわかり、とても興味深い。
本文は数理的な議論が豊富に展開されており、Navier-Stokes方程式のもつ面白さが伝わってくる。