バネの弾性エネルギーと力

皆さんはフックの法則を知っていますね。
水平にしたバネの片方を非常に上部な壁に取り付け、
バネのもう片方に力をかけて水平に引っ張ります。
いま、バネのもつばね定数を\( k (N/m) \)、引っ張る力を \( F (N)\)、
力をかけた個所の伸びが\( x (m) \)であるとします。
すると、フックの法則は、\( F=k x \)と記述できます。

バネは運動をせずに静止しているとすると、運動エネルギー \( K \)は \( 0 (J) \)です。
一方、バネには弾性エネルギー\( E \)が蓄えられており、
\( E = \frac{1}{2} k x^2 \) と表わされます。
バネのもつ総エネルギー\( T=K+E \) ですので、これを \( x \)で偏微分してやると、
\[ \frac{ \partial T }{\partial x } = k x \]
となります。
この右辺は力 \( F \)ですね。
以上のことから、系のエネルギーを変位\( x \)で偏微分してやると、力\( F\)が出せることがわかります。